分布

麦克斯韦-玻尔兹曼统计 #

小刻也能轻松学懂的Maxwell分布

基于热力学的简单推导 #

考虑一个系统，$T$恒定（比如和一个恒温热库交换热量），$\d V=\d N=0$。能级$\varepsilon$的简并度为$g_i$，对于两个确定状态$s_a,s_b$，由于系统的微观状态已经确定（仅1种），总系统的状态数就等于热库的微观状态数（下面的$U,S$都指热库）： $$ \frac{P(s_b)}{P(s_a)}=\frac{\Omega_b}{\Omega_a}=\frac{\exp\left(S_b/k\right)}{\exp\left(S_a/k\right)}=\exp\left(\frac {\Delta S}k\right) $$ 在$N,V,T$不变时，由热力学第一定律： $$ \d S=\frac1T\d U\\ \Delta S=\frac {\Delta U}T $$ 带入，根据能量守恒换成系统在该状态的能量$E$ $$ \frac{P(s_b)}{P(s_a)}=\exp\left(\frac {\Delta U}{kT}\right)=\exp\left(\frac {-\Delta E}{kT}\right)=\frac{\exp\left(-E_b/kT\right)}{\exp\left(-E_a/kT\right)} $$ 那么： $$ P(s)=\frac{\exp\left(-E_s/kT\right)}Z\qquad Z=\sum_s\exp\left(-E_s/kT\right) $$ 注意现在是针对于特定状态$s$，如果想用能量或者速度之类的表示，应乘上相应的简并度，以能量为例： $$ P(\varepsilon_i)=\frac{g_i\exp\left(-\varepsilon_i/kT\right)}Z\qquad Z=\sum_jg_j\exp\left(-\varepsilon_j/kT\right) $$ 我们自然可以秒掉Maxwell分布，对$v_i$，$g_i=4\pi v_i^2$（不必在意具体值，比例正确即可）。假设能级连续： $$ f(v_i)=\frac{4\pi v_i^2\exp\l{-mv_i^2/kT}}{\int_0^\infty4\pi v^2\exp\l{-mv^2/kT}\d v} $$ 根据高斯积分（见《一些数学》）解得，整理： $$ f(v)=4\pi\left(\frac M{2\pi RT}\right)^{3/2}v^2e^{-Mv^2/2RT} $$