一些数学

简单微分 #

$$ (\sin x)’=\cos x\\ (\cos x)’=-\sin x\\ (a^x)’=a^x\ln a\\ (\log a)’=\frac1{x\ln a}\\ (uv)’=u’v+v’u\\ (\frac uv)’=\frac{u’v-v’u}{v^2} $$

全微分 #

满足如下条件：

$$ \left[\f{}{B}\lf{X}{A}_B\right]_A=\left[\f{}{A}\lf{X}{B}_A\right]_B $$

偏导数 #

当你知道$f=f(x,y)=f(x,y(x,z))$时：

$$ \align{\d f&=\l{\f{f}{x}}_y\d x+\l{\f{f}{y}}_x\d y\\&=\l{\f{f}{x}}_y\d x+\l{\f{f}{y}}_x\left[\l{\f{y}{x}}_z\d x+\l{\f{y}{z}}_x\d z\right]\\&=\left[\l{\f{f}{x}}_y+\l{\f{f}{y}}_x\l{\f{y}{x}}_z\right]\d x+\l{\f{f}{y}}_x\l{\f{y}{z}}_x\d z} $$

此时，根据偏导数的定义得到性质 1：

$$ \l{\f{f}{x}}_z=\l{\f{f}{x}}_y+\l{\f{f}{y}}_x\l{\f{y}{x}}_z $$

它有什么用呢？考虑下面一个例子：

$$ \align{\d f&=\lf fx_y\d x+\lf fy_x\d y\\\lf fx_z&=\lf fx_y+\lf fy_x\lf yx_z} $$

直接把$\d x$除过去是很爽，但以前总会心有芥蒂——为啥出过去就自动$z$不变了？现在我们有了完美的解答——把$\d y$进一步用$x,z$表示出来即可。

我们进一步推广，对于$f=f(u(x,y),v(x,y))$，如法炮制，得到：

$$ \f fx=\f fu\f ux+\f fv\f vx $$

其实就是复合函数偏导的链式法则。

同时，不难知道性质 2：

$$ \l{\f{x}{y}}_z=\frac1{\l{\f{y}{x}}_z} $$

我们继续研究$x,y,z$的关系，知道：

$$ x=x(y,z)=x\left[y(x,z),z\right] $$

那么写出全微分：

$$ \align{\d x&=\lf{x}{y}_z\d y+\lf{x}{z}_y\d z\\&=\lf{x}{y}_z\left[\lf{y}{x}_z\d x+\lf{y}{z}_x\d z\right]+\lf{x}{z}_y\d z\\&=\left[\lf{x}{y}_z\lf{y}{x}_z\right]\d x+\left[\lf{x}{y}_z\lf{y}{z}_x+\lf{x}{z}_y\right]\d z} $$

根据性质 2，得到性质 3：

$$ \align{\d x&=\d x+\left[\lf{x}{y}_z\lf{y}{z}_x+\lf{x}{z}_y\right]\d z\\0&=\left[\lf{x}{y}_z\lf{y}{z}_x+\lf{x}{z}_y\right]\d z\\\lf{x}{z}_y&=-\lf{x}{y}_z\lf{y}{z}_x} $$

结合性质 2和性质 3，不难得到欧拉循环求导关系式：

$$ \lf{x}{y}_z\lf{y}{z}_x\lf{z}{x}_y=\red{-1} $$

上面的方法思路比较顺滑，但如果你想秒掉：

$$ \d z=\lf{z}{x}_y\d x+\lf{z}{y}_x\d y $$

令$\d z=0$，得：

$$ \align{\lf{z}{x}_y\d x+\lf{z}{y}_x\d y&=0\\-\lf{x}{y}_z\lf{y}{z}_x&=\lf{x}{z}_y\qquad（使用性质一和性质二，得性质三）\\\lf{x}{y}_z\lf{y}{z}_x\lf{z}{x}_y&=\red{-1}} $$

隐函数的求导 #

对于一个方程$F(x,y,z)=0$，，有：

$$ \f zx=-\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial z} $$

简单积分 #

$$ \align{\int \frac1x\d x&=\ln|x| + C\\\int x^\mu\d x&=\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C\\\int e^x\d x&=e^x+C\\\int \cos x\d x&=\sin x + C\\\int\sin x&=-\cos x+C\\\int \ln x&=-x+x\ln x\\\int_0^\infty e^{-\lambda x^2}\d x&=\frac12\sqrt\frac{\pi}{\lambda}\\\int_0^\infty xe^{-\lambda x^2}\d x&=\frac1{2\lambda}\\\int_0^\infty x^2e^{-\lambda x^2}\d x&=\frac14\sqrt\frac{\pi}{\lambda^3}} $$

换元积分法 #

设$f(x)$为可积函数，$g=g(x)$为连续可导函数，则有：

$$ \int_\alpha^\beta f(g)g’\d x=\int_{g(\alpha)}^{g(\beta)}f(g)\d g $$

设$f(x)$为可积函数，$x=x(g)$为连续可导函数，则有：

$$ \int_\alpha^\beta f(x)\d x=\int_{x^{-1}(\alpha)}^{x^{-1}(\beta)}f(x(g))x’\d g $$

微分方程 #

分离变量法 #

假如可以得到：

$$ h(y)\d y=g(x)\d x\\ h(y)\frac{\d y}{\d x}=g(x) $$

两边对$x$积分：

$$ \int_{x_1}^{x_2}h(y)\frac{\d y}{\d x}\d x=\int_{x_1}^{x_2}g(x)\d x $$

利用换元积分法：

$$ \int_{y(x_1)}^{y(x_2)}h(y)\d y=\int_{x_1}^{x_2}g(x)\d x+C $$

级数展开 #

泰勒级数 #

使用$f(a)$表示$f(x)$：

$$ f(x)=\sum_0^{\infty}\frac1{!n}\l{\frac{\d^nf}{\d x^n}}_a(x-a)^n $$

麦克劳林级数 #

泰勒级数在$a=0$的特殊情况：

Legendre 变换 #

在符合直觉的关系式中，作为独立变量的往往是广度量（$U，V,S,N$），但这些量一般难以测量，如何使用强度量（$T,p,\mu$）来不损失信息地表示各种关系呢？

假设我们有一个简单的函数$y=y(x)$（比如$y={x^2}/4$），它在$x$处导数为$p$。最简单的方法是通过一些变换得到这样一个函数：

$$ y=y(p) $$

然而，稍加思索即可发现这样做无论如何都会在数学上牺牲掉一些信息——关系$y=y(p)$是一个一阶微分方程，而它的积分给出的结果跟$y=y(x)$差一个待定的积分常数。下面的几个函数都满足$y=y(p) $：

回看刚才的表示，问题应该处在没有使用切线的斜率$\psi$。有趣的是，当你作出大量切线时，你会发现$y=y(x)$是一族切线的包络线。这有一个要求，就是该函数必须是凸函数，否则$\psi(p)$不是单值函数。

$\psi$的表达式也很容易根据定义得到：

$$ \psi(x)=f(x)-xp $$

对于一个多元函数：

$$ y=y(x_0,x_1,\cdots,x_n) $$

我们对其中$x_0,x_1,\cdots,x_i$做 Legendre 变换，记作$y(p_0,\cdots,p_i)$（略去剩下的$x$），显然有：

$$ y(p_0,\cdots,p_i)=y(x_0,x_1,\cdots,x_n)-\sum_{j=0}^{i}\f y{x_j}x_j $$