和声背后的心理物理学
放一首月光吧：
泛音（间谐波）理论
音符可以被表示为一堆正弦曲线，因此一个和弦可以认为是： $$ \alpha x_1(t)+\beta x_2(t)=\alpha\sum_{n=1}^N q_n\cos(2\pi nf_1t+\rho_n)+\beta\sum _{m=1}^Mr_m\cos(2\pi mf_2t+\varphi_m) $$ 其中，$N,M$ 代表由于可听范围而需要考虑的最高频谐波（泛音），$f_1,f_2$ 为基频，$\rho,\varphi$ 表示每个音符的初相（人为设定为 $0$）。
调制（$\overline\omega$ 为平均值）当 $A=B$： $$ \cos\omega_1t+\cos\omega_2t=2\cos\frac{\Delta\omega}2t\cos\overline\omega t $$ 当 $A\neq B$ 时，近似（$\omega_c\approx\overline\omega$）： $$ A\cos\omega_1t+B\cos\omega_2t\approx B-A+2A\left\lVert\cos^{2-A/B}\frac{\Delta\omega}2t\right\rVert\cos\omega_c t $$ 这个复杂的式子对以后到讨论中作用不大，需要注意的是在 $A/B\to0$ 时（即强弱相差无限大）时，调制频率约为$\Delta\omega$（而非二分之一）。
对于用赫兹计算的频率，对于 $A=B$ 的情况，调制频率： $$ \Delta f=\left |f_1-f_2\right| $$ 对于两个和弦，考虑临近的两个谐波（上箭头：$\Delta f$，下箭头：$\overline f$）：
$\Delta f$ 越小越悦耳（太大了则被认为是两个音）：
一作心目中的具体界限（$1\space\rm Hz$ 以下比较安全）：
同时考虑泛音之间的调制，但泛音之间的调制对悦耳程度影响较小：即 $\overline f$ 越小影响越大。
应用在古典乐理中：
极完全协和音程和完全协和音程：
不完全协和音程：
不协和音程：
次谐波理论
除去基频外泛音的影响理论上应该非常小，故转换思路。
对于一个和弦，我们画出它最终的波形，该波形存在规律（周期），而这一“规律”的长度对应了共同次谐波，走完一次（近似的）周期用时为 $T_{\rm sub}$，悦耳和弦的规律十分明显（更为精确而非近似），我们可以认为各个音符在 $T_{\rm sub}$ 附近为 $0$ 的时间差很短：
很容易想到理想的公共次谐波的频率为所有音符基频的最大公因数，但由于人耳存在一定的容错性，我们认为： $$ f_i=k_if_{\rm sub}+\Delta f_i $$ 因此（用 $\Delta t_i$ 进行修正等价于用 $\Delta f_i$ 进行修正）： $$ t_i=\frac1{k_if_{\rm sub}+\Delta f_i}\\ T_{\rm sub}=\frac1{f_{\rm sub}}=k_it_i(实际零点)+\Delta t_{i}(修正)\approx\overline{k_it_i} $$ 形象解释见下图，每种颜色的线代表对应颜色的音符在该时间为 $0$，从开始到所有颜色的线近似重合的时间差即为 $T_{\rm sub}$：
我们一般认为对于一个单个和弦（较短），仅频率最高的那个次谐波被识别。
$T_{\rm sub}$ 节点上两个相差最远零点（或者平均差值）的时间跨度即为 $\Delta t$（$\Delta t$ 越高越不准确，越不“和谐”）： $$ \align{\Delta t=\left[k_it_i\right]_{\max}-\left[k_it_i\right]_{\min}} $$ 对张力进行归一化处理（why？）： $$ \align{\Delta \widehat{t_{\rm X}}=\frac{\Delta t}{T_{\rm sub}}\\ \varepsilon{\rm X}\propto\frac1{{\Delta \widehat {t_{\rm X}}}}} $$ 作图：
遗憾的是，对于一个复杂的和弦，我们很难用一个次谐波进行表示（可能频率非常低），此时用几个次谐波进行表示就是一个很好的方法，我们引入 $\widetilde {\Delta t}$ 来描述多个次谐波构成和弦的总张力（$c$ 为预加重（平滑作用），使用 $T_{\rm sub}$ 来减少低频次谐波的影响）： $$ \widetilde {\Delta t}=n\left(\frac1{\sum_{n:m}(1/T_{\rm sub,m-n}(\Delta t_{\rm m-n})^c)}\right)^{1/c} $$ 自然音阶中的每个音符都共享一个相同的次谐波（频率很低），所有上述内容可以在对《D大调卡农》的分析中看出：
行进中的和声：
