马德隆常数计算方法扫雷

对马德隆常数常见算法中的数列的论证：¹

任务：证明数列 $$\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^nC_3(n)}{\sqrt{n}}$$ 发散。

首先定义数列的大O记号，对于实数数列$\{a_n\}^\infty_{n=1}$和实数$\beta$，当数列$\{n^{-\beta} a_n\}$有界时，我们记$a_n=O(n^\beta)$（参考复杂度的大O记号）

我们将半径$r$的球体内所有晶格点数记为$L_r$，对于$\sqrt{n}\le L_r<\sqrt{n+1}$，必然有： $$L_r=\sum^r_{k=1}C_3(k)$$ 很容易证明： $$L_r-\frac43\pi r^3=O(r^2)$$ 这就说明： $$\lim_{r\to\infty}\frac{L_r}{r^3}=\frac43\pi$$ 我们假设最初的数列收敛，那这就等价于说当$n\to0$时，$\epsilon_n=C_3(n)/\sqrt n \to 0$，对于一个自然数$N$，让$M_N=\max\{\epsilon_n:n\ge N\}$，那么当$N\to 0$，$M_N\to 0$。让$N$暂时固定，考虑对于$n>N$： $$\begin{align*}\frac{L_{\sqrt{n}}}{(\sqrt{n}^3)}&=n^{-3/2}\left[\sum^n_{k=1}\epsilon_k\sqrt k\right] \newline &\le n^{-3/2}\left[\sum^N_{k=1}\epsilon_k\sqrt k\right]+M_Nn^{-3/2}\left[\sum^n_{k=N+1}\sqrt k\right]\end{align*}$$ 注意（简单的放缩）： $$\begin{align*}\sum^n_{k=N+1}\sqrt k&\le\int^{n+1}_{N+1}t^{1/2}\mathrm dt\newline &=\frac23M_N[(n+1)^{3/2}-(N+1)^{3/2}]\end{align*}$$ 代到上面去： $$\begin{align*}\frac{L_{\sqrt{n}}}{(\sqrt n^3)}\le n^{-3/2}\left[\sum^N_{k=1}\epsilon_k\sqrt k\right]+\frac23M_N\left[\left(\frac{n+1}n\right)^{2/3}-\left(\frac{N+1}n\right)^{2/3}\right]\end{align*}$$ 让$n\to\infty$，发现对于任何的$N$，有$\limsup_{n\to\infty}L_{\sqrt{n}}/\sqrt{n}^3\le\frac23M_N$，既然$N\to\infty$时$M_N\to\infty$，我们有： $$\lim_{n\to\infty}\frac{L_{\sqrt n}}{(\sqrt n)^3}=0$$ 与我们一开始得到的结论矛盾。

所以，数列 $$\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^nC_3(n)}{\sqrt{n}}$$ 发散。Q.E.D.