薛定谔方程的启发式推导

快速的启发式推导，仅用于帮助理解就行了。¹

de Broglie 关系和 Einstein 关系 #

$$\begin{gather*} E=\color{blue}{{\frac12}mv^2+V}=\color{blue}{{\frac{p^2}{2m}}+V}=\color{red}{h\nu} \newline p=\color{blue}{mv}=\color{red}{\frac h\lambda} \end{gather*}$$

蓝色是粒子性的表现，而红色是波动性的表现！²

注意 Einstein 关系里的$E$是所有能量（不一定只有动能）。

含时薛定谔方程 #

假设波函数是一个最简单的简谐波： $$\Psi(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}$$ 其中$\omega$是角频率，$k$为波数（都多乘了$2\pi$），请查看以获得更多介绍

结合 Einstein 关系： $$\omega=2\pi \nu=\frac E\hbar\newline$$ 我们可以推一波： $$\begin{gather*} \frac{\partial}{\partial t} \Psi=-i\omega\Psi \ \hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi=-i\color{green}{E}\Psi \ i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi=\color{green}{E}\Psi \end{gather*}$$ 又知道$E=T+V=p^2/2m+V(x)$（假设势能与时间无关），结合关系： $$\color{green}{E}=\color{green}{{\frac{\hbar^2k^2}{2m}}+V(x)}$$ 得到： $$i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi=\left(\color{green}{{\frac{\hbar^2\color{red}{k^2}}{2m}}+V(x)}\right)\Psi$$ 做一波偏微分： $$\frac\partial{\partial x}\Psi=ik\Psi,\qquad \frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi=-k^2\Psi$$ 推得： $$\color{red}{k^2}=\color{red}{-{\frac{{\partial^2}/{\partial x^2}\Psi}\Psi}}$$ 带入上式： $$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=\left\{\color{red}{-}\frac{\hbar^2}{2m}\color{red}{{\frac{\partial^2}{\partial x^2}}}+V(x)\right\}\Psi$$ 拓展到三次元： $$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=\left\{-\frac{\hbar^2}{2m}{\color{blue}\nabla}^2+V(\mathbf {\color{blue}r})\right\}\Psi$$ 定义哈密顿算子$\hat H$： $${\color{orange}{\hat H}}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\mathbf r)$$ 所以简写为： $${\color{orange}{\hat H}}\Psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi$$

不含时薛定谔方程 #

继续在一维的语境，分离变量： $$\color{green}{\Psi(x,t)}=T(t)\psi(x)$$ 带入含时薛定谔方程，移项，由于左边不依赖于$x$，右边不依赖于$t$，那么他们共同的值既不依赖于$x$也不依赖于$t$，设为一个常数$G$。 $$\begin{gather*} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\color{green}{\Psi}=\left\{{-}\frac{\hbar^2}{2m}{\frac{\partial^2}{\partial x^2}}+V(x)\right\}\color{green}{\Psi}\newline \color{red}{i\hbar{\left\{\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}T(t)\right\}}}{\color{blue}\psi(x)}={\color{blue}{\left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x)\right\}}\color{red}{T(t)}\psi(x)}\newline \color{red}{{\frac 1{T(t)}}i\hbar{\left\{\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}T(t)\right\}}}={\color{blue}{\frac1{\psi(x)}}{\left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x)\right\}}\psi(x)}=\color{green}{G(\mathrm{constant})} \end{gather*}$$ 只看左边，重写为： $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}T(t)=-\frac{iG}{\hbar}T(t)$$ 猜一个解： $$T(t)=e^{\alpha t}$$ 求导： $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}T(t)=\alpha T(t)$$ 带入上面的方程： $$\alpha T(t)=-\frac{iG}{\hbar}T(t)$$ 不难看出$\alpha=-iG/\hbar$，带入$T(t)$表达式： $$T(t)=e^{-i(Gt/\hbar)}=e^{-i2\pi(Gt/{h})}$$ 这是一个简谐波，不难看出频率$v=G/h$，而由 Einstein 关系注意到$v=E/h$，由于整个波函数与$t$有关的全在$T(t)$中，故波函数的频率与$T(t)$相同，很容易得到： $$\color{green}{G}=\color{green}{E}$$ 可以得到： $$T(t)=e^{-i\color{green}{E}t/\hbar}$$ $$$$ 带入刚才等式的右半边（蓝色部分）并消去$t$：（拓展到三次元） $$\begin{align*} \left\{{\color{orange}-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\mathbf r)}\right\}\psi(\mathbf r)=E\psi(\mathbf r) \end{align*}$$ 简写： $${\color{orange}{\hat H}}\psi=E\psi$$