简谐振动

简谐运动 #

我们知道简谐运动的一般运动方程： $$ m\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm d^2t}=-kx $$ 我们把常数搞到一起： $$ \frac{\mathrm d^2x}{\mathrm d^2t}+\omega^2x\text{，其中}\omega=\sqrt{\frac{k}{m}} $$ 二阶导竟然还可以等于自己乘上一个常数，猜测这是怎么导都稳得一批的指数函数$Ae^{\lambda t}$，那么： $$ Ae^{\lambda x}\left(\lambda^2+\omega^2\right)=0 $$ 那么： $$ \lambda=\pm i\omega $$ 所以有这么个通解（$A_1,A_2,A$是复常数）： $$ x(t)=A_1e^{i\omega t}+A_2e^{-i\omega t}=Ae^{i\omega t} $$ 其中$A$是一个复数，称为复振幅，$A$的模长$|A|$就是振幅，幅角的相反数$\phi_0=-\mathrm{arg}(A)$就是初相位。

我们希望$x(t)$是个实数，那么它应该等于它的复共轭： $$ A_1e^{i\omega t}+A_2e^{-i\omega t}=A_2^*e^{i\omega t}+A_1^*e^{-i\omega t} $$

得到： $$ A_1=A^*_2 $$ 那我们写$A_1=ae^{i\phi}$，$A_2=ae^{-i\phi}$，得到： $$ x(t)=a\left[e^{i(\omega t+\phi)}+e^{-i(\omega t+\phi)}\right] $$ 套入欧拉公式： $$ x(t)=2a\cos(\omega t+\phi)=x_0\cos(\omega t+\phi) $$