波函数及数学基础
薛定谔方程复习
具体推导见前一篇 blog。 $$ \color{red}{\hat H}\psi=E\psi $$
波恩解释
如果一个粒子的波函数在$\mathbf r$处的值为$\psi$，那么，在该位置的一个无穷小体积的$\mathrm d\tau =\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz$内发现这个粒子的概率正比于$|\psi|^2\mathrm d\tau$，其中要注意：$|\psi|^2=\psi\psi^*$（若$\psi$是复函数）。
波函数为零的点，其概率密度也为零，称为节点。
波函数有如下几个性质：
- 归一化： 薛定谔方程有一个特点，若$\psi$为解，则$N\psi$也是一个解，其中$N$为任意常数。 $$N^2\int\psi\psi^*\mathrm d\tau=1$$（以后假设都已经归一化，即使用$N\psi$作为以后使用的波函数）
- 约束条件：有限区域内不允许是无限的；单质的；连续的；又连续的一阶导数（斜率）
对波函数的限制条件直接导致了粒子的能量是量子化的。
数学基础
算符
$$(\text{算符})(\text{函数})=(\text{新函数})$$
本征方程： $$ \begin{align*}\color{red}{\hat\Omega} \psi&=\color{blue}{\omega}\psi \\ (\color{red}{\text{算符}})(\text{本征函数})&=(\color{blue}{\text{本征值}})(\text{本征函数})\end{align*}$$ $\psi$称为算符$\hat\Omega$的本征函数
如果波函数是对应可观测量$\Omega$的算符$\hat\Omega$的本征函数，那么性质$\Omega$的测量结果将是对应于该本征函数的本征值。
听起来不好理解，我们来看一个例子——动量。
动量算符
我们首先想到利用波恩解释来求平均动量： $$\overline p=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi(x)p\psi(x)^* \mathrm dx$$ 但由于测不准原理，我们没办法精确地将$p$表示为$x$的函数。怎么办呢？只好换个方法思考。
考虑一个位势$V(x)$为$0$的自由粒子，那它的不含时薛定谔方程为： $$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi(x)=E\psi(x)$$ 我们可以解出一个平面波： $$\psi_k(x)=e^{i\color{red}{k}x}$$ $k$是前文提到过的波数。稍加改写：（de Broglie） $$\psi_k(x)=e^{i\color{red}{p}x/\color{red}{\hbar}}$$ 有丶东西，我们求其关于空间位置的偏导数： $$\color{red}{\frac{\partial}{\partial x}\psi_k(x)}=\frac{ip}{\hbar}e^{i{p}x/{\hbar}}=\color{red}{\frac{i}{\hbar}}\color{blue}{p\psi_k}$$ 我们倒一下： $$\color{red}{{\frac \hbar i}\frac{\partial}{\partial x}\psi_k(x)}=\color{blue}{p\psi_k}$$
可见$\psi_k$被$p$作用得到效果与被算符${\frac \hbar i}\frac{\partial}{\partial x}$作用得到的相同，我们把这个算子命名为动量算符$\hat p$，也就是说：动量算符的本征函数是自由粒子的波函数$\psi_k$，本征值为动量$p$（与上文呼应）：
$$\hat p=\frac{\hbar}i\frac{\partial}{\partial x}$$