晶体基础

晶体对称性 #

仅介绍一些需特别注意的内容：

旋转轴（记号：数字）——一定要符合晶格的特点：仅2，3，4，6

与之形成对比的（平行的原子连线不等长），所以5、7、8及以上旋转轴不会出现在晶体中

镜面（记号：m）对称中心（记号$\overline 1$）¹，注意：垂直于n次轴的镜面用$n/m$表示（默认为平行）

旋转-反演（记号$\overline n$）：下图中$\overline 6\equiv3\perp m$指三个垂直于$m$的对称面

旋转-反映（记号$S_n$）：$S_1\equiv m; S_2 \equiv\overline 1; S_3\equiv\overline6; {\color{red}S_4\equiv\overline4}; S_6\equiv\overline3$

可以发现$S_n$和$\overline n$（瑕旋转）是对应着的，晶体中一般选择$\overline n$

布拉维晶系 #

指导思想——特定的对称性会对晶胞的形状作出限制²

二维情况 #

一般（简单）格子：

这样，我们就生成了一个最普遍的平面格子（$|\mathbf a|\neq |\mathbf b|;\gamma\neq 90^\circ$），它是平行四边形。我们可以发现无论如何改变$\mathbf a,\mathbf b$都不会失去二重轴。

特殊格子：（以下对称元素都是分摊后的）

1.如果我们控制点3的位置，让1,2,3构成一个直角三角形，最终会得到一个矩形$|\mathbf a|\neq |\mathbf b|;{\color{red}\gamma=90^\circ}$（新对称性：两个镜面）

2.如果我们控制点3的位置，让1,2,3构成一个等腰三角形，得到一个菱形，我们写出周围的几个点，可以画出一个二倍大小的带心矩形$|\mathbf a|\neq |\mathbf b|;{\color{red}\gamma=90^\circ}$（新对称性：两个镜面 + 4个C2轴）

3.如果我们控制点3的位置，让1,2,3构成一个等腰直角三角形，得到一个正方形${\color{red}|\mathbf a|=|\mathbf b|};{\color{red}\gamma=90^\circ}$（新对称性：四个镜面 + 2个C4（在原来中心和顶点的C2上））

4.如果我们控制点3的位置，让1,2,3构成一个等边三角形，得到一个120°的菱形${\color{red}|\mathbf a|=|\mathbf b|};{\color{red}\gamma=120^\circ}$（新对称性：1个C6轴（原顶点C2）+2个C3）

三维情况 #

基础情况——六种P格子：三斜、单斜、正交、四方、立方、六方。分别分析：

前置知识：

1.判断对称性的有用规则：以下两种情况中的对称元素知二推一

• 偶数次旋转轴；垂直与旋转轴的镜面；对称中心（旋转轴与镜面交点）。例：$\rm 2/m\rightarrow\overline 1$；$\color{red}\rm\overline 1+m\rightarrow2\perp m$；
• 两个互相垂直的镜面；二重轴（相交直线上）。例：$\rm m\perp m\rightarrow 2$

2.每个晶格都是中心对称的（晶格点上或晶格点连线中点）

3.建系方法——右手定则，放在左后下角

4.选格子：对称性高→体积小

5.所有的三维格子都可以看做二维格子向上挤出得到

开始讨论：

以斜平面格子为基础：（平面格子仅包$2$和$\overline 1$）

上下平面不重合→三斜：点群$\overline1$，仅有对称中心，沿c轴投影三斜P：

上下面重合→单斜：保住了二重轴（注意一般单斜是从ac面拉伸（这样γ=α=90°），看起来向后倒³）——点群$\rm P2/m$。下图从b轴看单斜P。

至此找不到从平面斜格子堆积的另一种方法，讨论结束。

以平面矩形格子（反演、镜面、二重轴）为基础：

上下不重合：就是单斜，略

上下重合：没有长度限制——正交：正交P点群：Pmmm⁴（P 2/m 2/m 2/m：a、b、c三个不同的方向），从c轴投影：

矩形格子$a=b$——四方：四方P点群P 4/mmm（第三个2/m是(110)晶面方向！⁵），从c轴投影：

抬升高度也相等（$a=b=c$）——立方：立方P点群：$\rm Pm\overline3nm$（a方向4/m，(111)晶面方向$\overline3$，(110)方向2/m）

从60°菱形平面格子出发：

斜着堆（叠在上一层三重轴上）——三方（R心六方）：点群：$\rm R\overline3m$（c方向$\overline3$，a方向的$2/m$）

直上直下——六方：六方P点群P 6/mmm（c方向6/m，a和(210)晶面方向 2/m）

14种布拉维点阵形式——进一步特殊情况

插入法则——不降低原有对称性、点阵点环境相同

首先考虑单斜P（三斜对称性最低，不可能再降了）：由点群P2/m可知由对称中心，所加入的点必须在已有点阵点连线的中点，即面心、体心、棱心（若仅一组棱心则可减半，多组棱心则环境不同）

加在(0.5,0.5,0)或(0,0.5,0.5)上（即矩形面心），得到C心单斜（a，c轴可以交换）

加在(0.5,0,0.5)上，仍然是单斜P

加在(0.5,0.5,0.5)，可以转化为单斜C：

同时引入多个点——为保持每个点环境相同（定义！）：所有面心即F，但可转化为单斜C

其余情况可类推得到：

正交晶格：F、I、C都无法再缩小，也符合对称性；而A、B心则与C等同，算作一类。

四方晶格：存在I，但F可以缩小为$\frac12$的I，而C可以缩小为$\frac12$的P。

立方晶格：存在F、I，但C破坏对称性。

六方晶格：没有，唯一不破坏对称性的点为(0,0,0.5)，但可被缩小为$\frac12$得到P。

三方晶格（素晶胞）：C破坏对称性，F和I：

注意：三方晶胞的特例：α=90°——简单立方；α=60°——面心立方；α=109.5°——体心立方

各类晶胞除R心六方（三方$\rm R\overline3\space2/m$）外都不改变原有对称性。

看到空间群如何判断晶系：三斜：1；单斜：2；正交：2+很多个m、c、n；四方：4；三方：3或$\overline3$（一个），仅可能为P或R；六方：6；立方：3或$\overline3$，加上4、2、m等。注意区分三方（很少啦）和立方

晶面 #

晶面指数——截距倒数的最小整数比。小贴士：指数为0则与该轴平行，为1则与该轴垂直

晶面间距（立方）： $$ d(h^*k^*l^*)=\frac{a}{\sqrt{h^{*2}+k^{*2}+l^{*2}}} $$

晶面指数越小，晶面间距越大，晶体在晶面上生长越慢，最终外形才会保留下该种晶面（生长太快了的都没啦）。