一些量子力学结论
旧量子论
光电效应
$$ \frac12mv^2=h\nu-\Phi $$ 其中$\Phi$为脱出功（功函）。
Bohr的氢原子模型
两个假设：
- 在氢原子中，电子围绕著原子核进行圆周运动。
- 在轨道中运动的电子的角动量的大小$L$被量子化为正整数乘以约化普朗克常数$\hbar$。
根据圆周运动和库仑定律： $$ r=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2} $$
另外，圆周运动的角动量大小是半径乘以动量，结合假设2： $$ L=rm_ev=n\hbar \\ v=\frac{n\hbar}{rm_e} $$
得到： $$ r=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_ee^2}n^2 $$
波粒关系
de Broglie和Einstein关系
对于实物粒子和光子都适用： $$ E=h\nu=hc\overline\nu=\frac{hc}\lambda\\\lambda=\frac h p $$
激发光谱
外界给粒子能量 → 电子跃迁到激发态 → 回落到基态 → 发光
不确定性原理
$$ \Delta x\Delta p_x\ge\frac\hbar2 $$
简单的量子力学
薛定谔方程
$$ \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V\right]\psi(x,y,z)=E\psi(x,y,z) $$
一维势箱
一维势箱外$V=\infty$（显然此时$\psi=0$），势箱内$V=0$，带入薛定谔方程： $$ \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\d^2\psi(x)}{\d x^2}+E\psi(x)=0 $$ 我们把常数搞到一块： $$ k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}\\\frac{\d^2\psi(x)}{\d x^2}+k^2\psi(x)=0 $$ 联想我另一个博客里写的求解简谐振动的方法，通解为： $$ \psi(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx) $$ 接着带入边界条件：$\psi(0)=0$，显然$A=0$，得到： $$ \psi(x)=B\sin(kx) $$ 同时，让另一个边界$\psi(l)=0$，那么： $$ k=\frac{n\pi}{l} $$ 带回$E$： $$ E=\frac{n^2h^2}{8ml^2}\qquad n=1,2,3,\cdots $$ 注意，$n=0$无法满足归一化条件。此时最低可能能量为$n=1$时的$E$，称为零点能。
二维势箱
使用变分法处理，将$\psi(x,y)=X(x)Y(y),E=E_x+E_y$（波函数为什么要用乘法？联想独立事件概率公式），带入后将两边同时除$X(x)Y(y)$，拆开，再整理一下，用$k_x,k_y$换，那么变成两个一维势箱： $$ \align{\frac{\d^2X(x)}{\d x^2}+k_x^2X(x)=0\\\frac{\d^2Y(y)}{\d y^2}+k_y^2Y(x)=0} $$ 分别求解之后将$E_x,E_y$合体： $$ E=\frac{h^2}{8m}\l{\frac{n_x^2}{a^2}+\frac{n_y^2}{b^2}} $$ 由于$\psi(x,y)=X(x)Y(y)$，因此谁也不能为$0$，否则又无法归一化，因此$n_x,n_y=1,2,3,\cdots$。